Matematikçiler 32 Yıl Süren Arayışın Ardından Dokuzuncu Dedekind Sayısını Keşfetti

Matematikçiler, 32 yıllık araştırmaların ardından bir süper bilgisayarın yardımıyla Dedekind sayısı adı verilen özel bir tamsayının yeni bir örneğini keşfetti.

Merak edilen cevabı en başta paylaşalım: Türünün dokuzuncu ve sonuncu örneği olan D(9), 286 386 577 668 298 411 128 469 151 667 598 498 812 366 şeklinde hesaplandı. Bu 42 basamaklı devasa sayı, 1991 yılında keşfedilen 23 basamaklı D(8)’i takip etmektedir.

Dedekind sayısının kavramını anlamak matematikçiler için bile zordur, hesaplamak ise daha da zor. Aslında söz konusu hesaplamalar o kadar karmaşıktır ve o kadar büyük sayılar içerir ki, D(9)’un keşfedileceği bile kısa bir süre öncesine kadar kesin değildi.

Almanya’daki Paderborn Üniversitesi’nden bilgisayar bilimcisi Lennart Van Hirtum konuyla ilgili olarak şunları söyledi:

“32 yıl boyunca D(9)’un hesaplanması açık bir meydan okumaydı ve bu sayının hesaplanmasının mümkün olup olmayacağı şüpheliydi.”

Dedekind Sayıları ve Monoton Boolean Fonksiyonları: Matematik Dünyasının Gizemli Alanları

Bir Dedekind sayısının merkezinde, sadece iki durumdan oluşan girişlere dayalı olarak bir çıktı seçen bir mantık olan Boolean fonksiyonlar bulunur, örneğin doğru ve yanlış veya 0 ve 1.

Monoton Boolean fonksiyonları, bir girdideki 0’ın 1 ile yer değiştirmesi durumunda çıktının 1’den 0’a değil, yalnızca 0’dan 1’e değişmesine izin veren mantık fonksiyonlarıdır. Araştırmacılar bunu 1 ve 0’lar yerine kırmızı ve beyaz renkler kullanarak açıklar, ancak fikir aynıdır.

“Temel olarak, iki, üç ve sonsuz boyutlarda monoton bir Boole fonksiyonunu n-boyutlu bir küple oynanan bir oyun olarak düşünebilirsiniz,” diyor Van Hirtum ve devam ediyor:

“Küpü bir köşesinde dengeliyorsunuz ve sonra kalan köşelerin her birini ya beyaz ya da kırmızıya boyuyorsunuz.”

“Tek bir kural var: beyaz bir köşeyi asla kırmızı bir köşenin üzerine yerleştirmemelisiniz. Bu bir tür dikey kırmızı-beyaz kesişimi yaratır. Oyunun amacı kaç farklı kesim olduğunu saymaktır.”

İlk birkaç tanesi oldukça basittir. Matematikçiler D(1)’i sadece 2 olarak sayar, ardından 3, 6, 20, 168 … şeklinde devam eder.

Noctua 2: Özel Bir Süper Bilgisayarın Yardımıyla Devasa Hesaplamalar ve Keşfedilen D(9)

1991 yılında D(8)’i hesaplamak için bir Cray-2 süper bilgisayarı (o zamanlar en güçlü süper bilgisayarlardan biri) kullanıldı ve matematikçi Doug Wiedemann’ın D(8)’i bulması 200 saat sürdü.

D(9), D(8)’in neredeyse iki katı uzunluğundaydı ve özel bir tür süper bilgisayara ihtiyaç duyuldu: çoklu hesaplamaları paralel olarak işleyebilen Field Programmable Gate Arrays (FPGA) adlı özel birimler kullanan bir bilgisayar. Bu da araştırma ekibini Paderborn Üniversitesi’ndeki Noctua 2 süper bilgisayarına yönlendirdi.

Noctua 2’nin bulunduğu Paderborn Paralel Hesaplama Merkezi’nin (PC2) başkanı bilgisayar bilimci Christian Plessl şunu söyledi:

“FPGA’larla zor kombinatoryal problemleri çözmek gelecek vaat eden bir uygulama alanı ve Noctua 2, dünya çapında bu deneyin yapılabildiği birkaç süper bilgisayardan biri.”

Peki Ya Onuncu Dedekind D(10) Sayısı?

Noctua 2’ye çalışması için bir şeyler vermek için daha fazla optimizasyon gerekiyordu. İşlemi daha verimli hale getirmek için formüldeki simetrileri kullanan araştırmacılar, süper bilgisayara hesaplaması gereken devasa bir toplamı verdiler; bu toplam 5,5*10^18 terim içeriyordu (karşılaştırma için Dünya’daki kum tanelerinin sayısının 7,5*10^18 olduğu tahmin ediliyor).

Beş ay sonra Noctua 2 bir cevap buldu ve şimdi D(9) elimizde. Araştırmacılar şimdilik D(10)’a herhangi bir atıfta bulunmadılar. Ancak onu bulmanın da bir 32 yıl daha alabileceğini hayal edebiliriz.

Yeni keşfedilen Dedekind sayısı hakkında henüz bir makale yayımlanmadı. Ekip ilk raporu Eylül 2023’te Norveç’te düzenlenecek Boolean Fonksiyonları ve Uygulamaları Uluslararası Çalıştayı’nda (BFA) sunmayı planlanıyor.

Dokuzuncu Dedekind sayısının 32 yıllık bir süre sonunda keşfedilmesi hakkında sizler ne düşünüyorsunuz? Yorumlarınızı Kayıp Rıhtım Forum’da paylaşabilirsiniz.

Yeni içeriklerden haberdar olmak için bizi Google News’ten takip edebilirsiniz.

Kaynak: Science Alert